Econométrie Appliquée

1 Imports

Code

library(ggplot2)
library(dplyr)
library(readxl)
library(micEcon)
library(stargazer)
library(gt)
library(tibble)
library(knitr)
library(plotly)

Code

bg_color <- "#FCFCFC"

2 Description des données

Le jeu de données appleProdFr86 utilisé dans le papier d’économétrie de Ivaldi et al. (1996) comprend des données transversales de production de 140 producteurs de pommes français datant de l’année 1986.

Code

apples <- read_excel("data/appleProdFr86.xlsx")

Descriptif des colonnes

Colonnes	Description
vCap	Coûts associés au capital (foncier compris).
vLab	Coûts associés au travail (y compris la rémunération du travail familial non rémunéré).
vMat	Coûts des matières intermédiaires (plantations, engrais, pesticides, carburant, etc).
qApples	Indice de quantité des pommes produites.
qOtherOut	Indice de quantité de tous les autres outputs.
qOut	Indice de quantité de toute la production \(\Rightarrow 580000 \cdot (\text{qApples} + \text{qOtherOut})\)
pCap	Indice des prix du capital.
pLab	Indice des prix du travail.
pMat	Indice des prix des matières intermédiaires.
pOut	Indice des prix de la production globale.
adv	Distingue les producteurs qui sont conseillés par des laboratoires d’agronomie.

2.1 Tableau descriptif

Ce tableau descriptif retrace les 10 premières observations et l’ensemble des variables associées dans le dataset.

Code

apples |>
    head(n = 10) |>
    gt() |>
    tab_header(
        title = md("**Producteurs de pommes 🍎**"),
        subtitle = md("*140 producteurs* 🇫🇷 *(1986)*")
    ) |>
    tab_source_note(
        source_note = "Source: Ivaldi et al. (1996)"
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Costs",
        columns = c("vCap", "vLab", "vMat")
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Price Index",
        columns = c("pCap", "pLab", "pMat", "pOut")
    ) |>
    tab_spanner(
        label = "Quantity Index",
        columns = c("qApples", "qOtherOut", "qOut")
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "lavenderblush")
        ),
        location = cells_body(columns = c(vCap, vLab, vMat))
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "ivory")
        ),
        location = cells_body(columns = c(qApples, qOtherOut, qOut))
    ) |>
    tab_style(
        style = list(
            cell_fill(color = "aliceblue")
        ),
        location = cells_body(columns = c(pCap, pLab, pMat, pOut))
    ) |>
    fmt_number(suffixing = TRUE, n_sigfi = 2) |>
    text_case_match(
        "1.0" ~ fontawesome::fa("check"),
        "0" ~ fontawesome::fa("xmark"),
        .locations = cells_body(columns = adv)
    ) |>
    tab_options(
        table.background.color = bg_color
    )

Producteurs de pommes 🍎
140 producteurs 🇫🇷 (1986)
N	Costs			Quantity Index			Price Index				adv	qCap	qLab	qMat
	vCap	vLab	vMat	qApples	qOtherOut	qOut	pCap	pLab	pMat	pOut
1	220K	320K	300K	1.4	0.98	1.4M	2.6	0.90	8.9	0.66		84K	360K	34K
2	130K	190K	260K	0.86	1.1	1.1M	3.3	0.75	6.4	0.72		40K	250K	41K
3	81K	130K	91K	3.3	0.40	2.2M	2.2	0.96	3.7	0.94		37K	140K	24K
4	34K	110K	60K	0.44	0.44	510K	1.6	1.3	3.2	0.60		21K	83K	19K
5	39K	84K	100K	1.8	0.015	1.1M	0.87	0.94	7.2	0.83		45K	89K	14K
6	120K	520K	580K	8.5	0.43	5.2M	1.0	0.96	9.6	1.4		120K	550K	60K
7	89K	170K	340K	4.1	3.3	4.3M	0.98	1.0	7.8	1.3		91K	170K	44K
8	92K	200K	130K	2.2	1.1	1.9M	1.0	0.92	5.0	0.62		89K	220K	25K
9	66K	180K	190K	1.8	2.6	2.5M	2.5	1.0	5.6	1.9		27K	180K	34K
10	94K	140K	82K	1.6	0.45	1.2M	0.98	0.64	5.6	0.49		95K	220K	15K
Source: Ivaldi et al. (1996)

3 Analyse exploratoire

ACP à faire ? pourrait être intéressant

Code

apples_num <- apples |>
    select(-N)

cor <- apples_num |> cor()

fig <- plot_ly(
    x = colnames(apples_num), y = colnames(apples_num),
    z = cor, type = "heatmap", colors = "Greys"
)
fig

Code

fig <- plot_ly(x = apples$vCap, type = "histogram", nbinsx = 30, alpha = 0.6)
fig

Code

fig <- plot_ly(alpha = 0.6, nbinsx = 50)
fig <- fig %>% add_histogram(apples$vCap[apples$adv == 1], name = "advisory service")
fig <- fig %>% add_histogram(apples$vCap[apples$adv == 0], name = "not advisory service")
fig <- fig %>% layout(
    barmode = "overlay",
    yaxis = list(title = "Frequency"),
    xaxis = list(title = "Values")
)
fig

Code

apples |>
    select(qApples, adv) |>
    group_by(adv) |>
    summarise(mean = mean(qApples))

# A tibble: 2 × 2
    adv  mean
  <dbl> <dbl>
1     0  3.15
2     1  2.99

4 Fonction Cobb-Douglas

Forme générale d’une fonction Cobb-Douglas

La forme est généralisée à \(N\) inputs.

\[y = A \prod_{k=1}^N x_k^{a_k}\]

Dans le cadre de cette étude comparative, nous avons 3 inputs :

• qCap \(\Rightarrow\) la quantité de capital
• qLab \(\Rightarrow\) la quantité de travail
• qMat \(\Rightarrow\) la quantité de matériaux

Nous obtenons donc la forme suivante :

\[q_{Out} = A\cdot q_{Cap}^\alpha \cdot q_{Lab}^\beta \cdot q_{Mat}^\gamma\]

Avec \(A, \alpha, \beta, \gamma \Rightarrow\) 4 paramètres à estimer.

On peut facilement linéariser la fonction, dès lors on obtient :

\[ \ln(q_{out}) = \ln(A) + \alpha \cdot \ln(q_{Cap}) + \beta \cdot \ln(q_{Lab}) + \gamma \cdot \ln(q_{Mat}) \]

Allen Elasticity of Substitution (AES)

\(\sigma_{\{\text{qCap, qLab, qMat}\}} = 1\)

Rappel : Si la fonction de production est Cobb-Douglas, alors on a normalement \(\hat\alpha + \hat\beta + \hat\gamma = 1\)

On peut tester cette hypothèse :

\[ \begin{cases} H_0 : \alpha + \beta + \gamma = 1\\ H_1 : \alpha + \beta + \gamma \neq 1\\ \end{cases} \]

Code

cd_prod_1 <- lm(log(qOut) ~ log(qCap) + log(qLab) + log(qMat), data = apples)

coefficients <- summary(cd_prod_1)$coefficients[, 1]
std_values <- summary(cd_prod_1)$coefficients[, 2]
pvalues <- summary(cd_prod_1)$coefficients[, 4]

cobb_douglas <- data.frame(cbind(coefficients, std_values, pvalues))

r2 <- round(summary(cd_prod_1)$r.squared, 3)
adj_r2 <- round(summary(cd_prod_1)$adj.r.squared, 3)
n <- nobs(cd_prod_1)

Code

cobb_douglas |>
    tibble() |>
    add_column(description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat`"
    ), .before = coefficients) |>
    add_column(names = c("$A$", "$\\alpha$", "$\\beta$", "$\\gamma$"), .before = coefficients) |>
    add_column(significativite = case_when(
        pvalues < 0.001 ~ "$***$",
        pvalues < 0.05 ~ "$**$",
        pvalues < 0.1 ~ "$*$",
        .default = ""
    )) |>
    gt(rowname_col = "names") |>
    cols_label(
        description = md("**Description**"),
        coefficients = md("**Coefficients**"),
        std_values = md("**Ecart Type**"),
        pvalues = md("**Pvalues**"),
        significativite = md("**Significativité**")
    ) |>
    fmt_markdown(columns = c(names, description, significativite)) |>
    fmt_number(columns = c(coefficients, pvalues), decimals = 3) |>
    fmt(columns = std_values, fns = function(std) {
        paste("+/-", round(std, 3))
    }) |>
    # data_color(columns = coefficients) |>
    tab_footnote(footnote = md(sprintf("*Observations* : %s", n))) |>
    tab_footnote(footnote = md("***")) |>
    tab_footnote(footnote = md(sprintf("$R^2=$ %s", r2))) |>
    tab_footnote(footnote = md(sprintf("$R^2_{adj}=$ %s", adj_r2))) |>
    tab_header(
        title = md("**Fonction de production Cobb-Douglas**"),
        subtitle = md("Variable dépendante : *qOut*")
    ) |>
    tab_options(
        table.background.color = bg_color
    )

Fonction de production Cobb-Douglas
Variable dépendante : qOut
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	−2.064	+/- 1.313	0.118
\(\alpha\)	Coefficient associé à la variable qCap	0.163	+/- 0.087	0.064	\(*\)
\(\beta\)	Coefficient associé à la variable qLab	0.676	+/- 0.154	0.000	\(***\)
\(\gamma\)	Coefficient associé à la variable qMat	0.627	+/- 0.126	0.000	\(***\)
Observations : 140
\(R^2=\) 0.594
\(R^2_{adj}=\) 0.585

Code

# Estime une fonction Cobb Douglas avec l'argument linear
cd_prod <- translogEst(
    "qOut",
    c("qCap", "qLab", "qMat"),
    apples,
    linear = TRUE
)

Code

makestars <- function(pvalues) {
    return(
        dplyr::case_when(
            pvalues < 0.001 ~ "$***$",
            pvalues < 0.05 ~ "$**$",
            pvalues < 0.1 ~ "$*$",
            .default = ""
        )
    )
}


gtgazer <- function(model, n_coef = 4, coefnames, description, title, bg_color) {
    coefficients <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 1]
    std_values <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 2]
    pvalues <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 4]
    signif <- makestars(pvalues)
    r2 <- round(summary(model)$r2, 3)
    adj_r2 <- round(summary(model)$r2bar, 3)
    n <- summary(model)$nObs
    dep_variable <- summary(model)$yName
    coefnames <- coefnames
    description <- description
    reg_results <- data.frame(cbind(coefnames, description, coefficients, std_values, pvalues, signif)) |>
        tibble() |>
        mutate(across(c(coefficients, std_values, pvalues), as.numeric))

    table <- reg_results |>
        gt(rowname_col = "coefnames") |>
        cols_label(
            description = md("**Description**"),
            coefficients = md("**Coefficients**"),
            std_values = md("**Ecart Type**"),
            pvalues = md("**Pvalues**"),
            signif = md("**Significativité**")
        ) |>
        fmt_markdown(columns = c(coefnames, signif, description)) |>
        fmt_number(columns = c(coefficients, pvalues), decimals = 3) |>
        fmt(columns = std_values, fns = function(std) {
            paste("+/-", round(std, 3))
        }) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("*Observations* : %s", n))) |>
        tab_footnote(footnote = md("***")) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("$R^2=$ %s", r2))) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("$R^2_{adj}=$ %s", adj_r2))) |>
        tab_header(
            title = md(title),
            subtitle = md(sprintf("Variable dépendante : *%s*", dep_variable))
        ) |>
        tab_options(
            table.background.color = bg_color
        )

    return(table)
}

Code

gtgazer(
    cd_prod,
    n_coef = 4,
    coefnames = c("$A$", "$\\alpha$", "$\\beta$", "$\\gamma$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat`"
    ),
    title = "**Fonction de production Cobb-Douglas**",
    bg_color = bg_color
)

Fonction de production Cobb-Douglas
Variable dépendante : qOut
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	−2.064	+/- 1.313	0.118
\(\alpha\)	Coefficient associé à la variable qCap	0.163	+/- 0.087	0.064	\(*\)
\(\beta\)	Coefficient associé à la variable qLab	0.676	+/- 0.154	0.000	\(***\)
\(\gamma\)	Coefficient associé à la variable qMat	0.627	+/- 0.126	0.000	\(***\)
Observations : 140
\(R^2=\) 0.594
\(R^2_{adj}=\) 0.585

Code

summary(cd_prod$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.67239 -0.28024  0.00667  0.47834  1.30115 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.06377    1.31259  -1.572   0.1182    
a_1          0.16303    0.08721   1.869   0.0637 .  
a_2          0.67622    0.15430   4.383 2.33e-05 ***
a_3          0.62720    0.12587   4.983 1.87e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.656 on 136 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5943,    Adjusted R-squared:  0.5854 
F-statistic: 66.41 on 3 and 136 DF,  p-value: < 2.2e-16

Code

apples <- apples |> mutate(cost = vCap + vLab + vMat)

Code

# Estime une fonction Cobb Douglas avec l'argument linear
# translogCostEst("cost", "qOut", c("qCap", "qLab", "qMat"), apples)

• Avec la fonction de cout on trouve 2.7 – à vérifier

Estimer des fonctions de cout, les rendements d’échelle, estimer la fonction CES, la leontieff généralisée, calculer le profit des producteurs, lien entre efficacité, optimalité, vérifier hétéroscédasticité.

Code

cobbDouglasCalc(c("qCap", "qLab", "qMat"), apples, coef(cd_prod)[1:4], coefCov = NULL, dataLogged = FALSE)

         1          2          3          4          5          6          7 
 3211442.9  2484348.9  1198934.2   659255.2   657608.3  6440150.6  2289560.6 
         8          9         10         11         12         13         14 
 1941829.7  1643085.0  1393628.8  1065518.4  2532062.5  1142644.8  1990393.7 
        15         16         17         18         19         20         21 
 1804586.9  2486696.5   623801.8  4674844.6   652055.8  1602756.5  3585652.8 
        22         23         24         25         26         27         28 
 3105133.1  1962299.4  1894850.1  1730990.1  2028057.2  1236923.3  3120162.0 
        29         30         31         32         33         34         35 
  857551.9  1283936.8  1591240.6  1112374.7  1104836.2  1990082.5  2286930.2 
        36         37         38         39         40         41         42 
 1050671.7   670978.8   385308.3   617220.9   947210.5  1523069.4  1590208.7 
        43         44         45         46         47         48         49 
 1152166.4   874268.3   856786.7  1501912.2   812992.3  1433944.5  1169689.9 
        50         51         52         53         54         55         56 
  761120.5   655665.9   737223.4   623412.9   541717.9  1239529.1  1182383.1 
        57         58         59         60         61         62         63 
 1401808.7   628116.7   507950.3  2747396.1   539581.5  1055087.5  3550349.5 
        64         65         66         67         68         69         70 
  935872.0  1410581.5  5799225.5  4578344.7  2308627.1  5785802.2  8756920.8 
        71         72         73         74         75         76         77 
  936486.7   859620.4   940655.3   461623.9   848543.7  2309804.2  1241075.8 
        78         79         80         81         82         83         84 
  456956.7   723527.6   395900.6   692132.4  6173798.8   936641.2  6561521.0 
        85         86         87         88         89         90         91 
 3007107.9  4707504.1  1821147.0  1274546.0  1539352.9 10076301.8  1887415.3 
        92         93         94         95         96         97         98 
 1941222.6  3696158.0  6802400.4  1055932.4 23101792.2  1334995.9  1869797.5 
        99        100        101        102        103        104        105 
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Les références

Ivaldi, Marc, Norbert Ladoux, Hervé Ossard, et Michel Simioni. 1996. « Comparing Fourier and translog specifications of multiproduct technology: Evidence from an incomplete panel of French farmers ». Journal of applied econometrics 11 (6): 649‑67.

Réutilisation